Проект Карла III Ребане и хорошей компании
DPVA.info Инженерный справочник.
 Фильтр сетчатый, фильтр фланцевый, фильтры сетчатые, АБРАДОКС, АБРА, ABRADOX, ABRA
Ссылки:
Раздел недели: Таблицы применимости материалов. Химическая, температурная, коррозионная стойкость.
Музыка была лучше во времена, когда разрешали петь некрасивым людям.
Межфланцевые прокладки. Герметики. Уплотнительные материалы









free counters
Обзор : Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:

Разложение  e^x в ряд Тейлора в окрестности точки a=1

Разложение  sinx в ряд Тейлора в окрестности точки a=1

При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

1)Ряд Тейлора в окрестности точки а, где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. Rn - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением Остаточный член в ряде Тейлора

2)ряд Тейлора

k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой

определение к-го члена ряда Тейлора

3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

при a=0 ряд Тейлора

члены ряда определяются по формуле

определение к-го члена ряда Тейлора

Условия применения рядов Тейлора.

1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.

Свойства рядов Тейлора.

  1. Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.
  2. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:

Решение определенного интеграла

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от  linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.

↓Поиск на сайте DPVA.info - Введите свой запрос в форму

Пользовательский поиск

↑Поиск на сайте DPVA.info - Введите свой запрос в форму

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике DPVA.info:  главная страница / Техническая информация. Математический справочник Степенные ряды Тейлора, Маклорена (=Макларена) и периодический ряд Фурье. Разложение функций в ряды.

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.